Mint a Játékelméleti Társaság oldala szomorúan adta hírül, egy hónapja hunyt el William F. Lucas, a játékelmélet egyik nagy öregje. Bár kutatásai szerteágazóak voltak talán két területen alkotott igazán kiemelkedőt. Az egyik a Neumann-Morgenstern-féle megoldás, vagy más néven stabil halmaz vizsgálata, a másik a partíciós függvény alakú játékok bevezetése.
Nyugodtan mondhatjuk, hogy a stabil halmaz klasszikus tulajdonságairól kevesen tudtak nála többet - nem véletlen, hogy ő írta a Handbook of Game Theory erről szóló fejezetét is. Mi is a stabil halmaz? Neumann és Morgenstern Játékelmélet és gazdasági viselkedés című könyvükben kitértek a többszereplős játékokra is és itt ezt a halmazt nevezték a játék megoldásának. A stabil halmaz az alábbi két feltételt teljesíti:
- (külső stabilitás) minden halmazon kívüli elosztást dominálja a halmaz valamelyik eleme
- (belső stabilitás) ha a halmaz egyik elemét dominálja egy másik elosztás, akkor az utóbbi nem eleme a halmaznak.
Neumannék a stabil halmazt társadalmilag elfogadott viselkedési normák gyűjteményének tekintették: valami csak akkor elfogadhatatlan, ha arra a normák tudnak jobb megoldást, ugyanakkor a normák abszolútak, tehát nem jobbak, vagy rosszabbak egymásnál.
Természetesen a stabil halmaz sosem üres és mindig tartalmazza a magot, ugyanakkor a jó tulajdonságok ezzel nagyjából véget is értek. Stabil halmazból rendszerint több, végtelen sok is van, de ezek közül egy megtalálása is nehéz. Sokáig azt hitték, hogy ilyenkor a stabil halmazok metszete majd kiadja a magot, de Lucas egy ellenpéldával igazolta, hogy ez nem igaz, sőt 1968-ban egy régi sejtést sikerült cáfolnia, ugyanis bemutatott egy olyan 11 játékosból álló játékot, aminek nincs megoldása, nincs stabil halmaza.
A partíciós függvény alak a koalíciós játékoknak a mai napig használt talán legáltalánosabb formája, ahol a játékosok egy csoportjának az értéke, függ a többi koalíciótól is. Sajnos ezt a gyakorlatilag nyilvánvaló tényt a karakterisztikus függvény alak nem tudja kezelni. Lucas Thrallal közösen vezette be ezt az új formát.
Doktoranduszként rögtön az ilyen játékok kezdtek el érdekelni és első eredményem is a mag ilyen típusú általánosítása volt. A kész cikket elküldtem Lucasnak véleményezésre és kérdeztem, hogy van-e esetleg még olyan kapcsolódó munkája, amit nem ismerek és amire így nem is hivatkoztam (akkor még nem volt Google Scholar, meg hasonlók!). Nem igazán vártam választ, de nem sokkal később egy vaskos boríték fogadott az asztalomon egy rövid levéllel és egy nagy halom cikkel. Jó lenne azt hinni, hogy a cikkem indította ilyen kedves és lelkes válaszra, de attól félek, hogy ez inkább Lucas nyitottságát, emberségét mutatta.
Reméltem, hogy mihamarabb szóban is megköszönhetem bíztatását, de kora miatt már nem igen látogatott konferenciákat így személyesen nem találkoztam vele és sajnos most már nem is fogok.
