Mindenki ismeri a viccet melyben egy matematikusnak kell felforralnia egy fazék vizet. Első feladatként kap egy fazekat, ezt megtölti vízzel, majd felforralja. Ezután egy vízzel teli fazekat kap. A vizet kiönti... és ezzel visszavezette az előző feladatra.

Bár egy viccet boncolgatni sosem hálás feladat, világos, hogy a feladat megoldása során megtett felesleges lépések, a gyakorlatias viselkedés teljes hiánya a mulatságos.

A valóságban a matematikus éppenhogy praktikus és igen lusta. Arra törekszik, hogy a problémát a legkisebb erőfeszítéssel oldja meg és ez hol a lépések számának csökkentését, hol az elméleti előkészítés rövidítését jelenti. A vicc az utóbbiról szól, a poszt az előbbiről.

Előző blogbejegyzésemben a hatalmi indexekről már beszéltem: ezek a szavazási helyzetekben próbálják az egyes döntéshozók befolyását exakt, mérhető módon kifejezni. Sajnos a hatalmi indexek kiszámítása nem egyszerű, ami azt jelenti, hogy már egy EU méretű, azaz 27 tagból álló döntéshozó szervezet esetében is percekben mérhető egy index kiszámítása. Fabien Lange szerzőtársammal írt közös cikkünkben egy új módszert javasolunk a hatalmi indexek kiszámítására.

Egy szavazási helyzetet az elméleti irodalom a nyerő koalíciók (azaz döntésképes, "többségi" szavazói csoportok) felsorolásával ír le. Ennek megfelelően a számolás ezen az esetenként igen nagy halmazon alapszik. A gyakorlatban a nyertes koalíciók felsorolása helyett a döntésképesség minimális feltételeit soroljuk fel, tehát például kétharmados többségről beszélünk, vagy bizonyos országok vétójogáról. Egy szavazási helyzet tehát leírható a legkisebb döntésképes koalíciók felsorolásával is. Ezeket a koalíciókat bővítve további nyerő koalíciók kaphatók, de ezeket a koalíciókat nem is biztos, hogy figyelembe kellene venni a a befolyás számításánál (érvel például Holler és Packel, 1983).

Számításunk alapja az úgynevezett Möbius-transzformáció (amit ebben a formában Rota, 1964 használt először), melynek során az eredeti egyszerű játéknak képezzük a Harsányi-osztalékait (Harsányi, 1963), amik tulajdonképpen a játékosok/szavazók által alkotott koalíciók jelentőségét mutatják. A Harsányi-osztalékok segítségével felírt formulák végül csak a legkisebb nyerő koalíciókon és ezek unióin alapszanak.

Persze felmerül a kérdés, hogy mit nyerünk ezzel az egésszel? A Harsányi-osztalékok számítása elsőre nem tűnik egyszerűnek (másodszorra sem az) és tulajdonképpen a végén a legkisebb nyerő koalíciók unióit képezzük, tehát úgy tűnik, mintha visszaléptünk volna az egyes mezőre! Az új számítási módszer logikusabb és közvetlenebb, de azt nem állítjuk, hogy gyorsabb is, hiszen ugyan kevesebb koalícióval, de bonyolultabb műveleteket kell végeznünk. Vannak ugyanakkor esetek, amikor a közvetlenség egyértelműen csökkenti a számítási időt.

Ilyen helyzet alakult ki a 2010-es választásokkal az Országgyűlésben, hiszen a Fidesz egyértelműen többséget alkot, ami azt jelenti, hogy a Fidesz alkotja az összes nyerő "koalíciót", de ugyanez a helyzet áll elő például egy részvénytársaságban, ahol a részvények többsége egy kézben van. Természetesen vannak érdekesebb esetek: óceáni játékokban a döntési képesség néhány (véges számú) játékos kezében összpontosul, míg végtelen sok, végtelen kicsi befolyással rendelkező szavazó létezik, akik ugyanakkor közösen, néhány nagy szavazóval együttműködve szintén képesek döntéseket hozni. Egy ilyen modellben a nyerő koalíciók halmaza végtelen, míg az új számítási módszer segítségével a számítás kifejezetten egyszerű.

Hivatkozott irodalom

Harsanyi, J. (1963), ‘A simplified bargaining model for the n-person cooperative game’, International Economic Review 4, 194–220.

Holler, M. és Packel, E. (1983), ‘Power, luck and the right index’, Journal of Economics 43, 21–29.

Rota, G. (1964), ‘On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions’, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 2, 340–368.

lyen és hasonló kérdésekkel foglalkozunk az OTKA támogatásával folyó "Az erős, a gyenge, meg a ravasz: Hatalom és stratégiai viselkedés szavazási helyzetekben" c. kutatási projektben.