Sokféle játék létezik. Nagyon sokféle. A játékok vizsgálata során az egyik bevett megközelítés figyelmünket bizonyos játékosztályra korlátozni. Az idők során megfogalmazódtak bizonyos sarkalatos tulajdonságok, melyek alapjaiban határozzák meg egy játék viselkedését. Ha a játék rendelkezik egy ilyen tulajdonsággal, akkor abból rögtön sok más dolog is következik. Sajnos ezek a sarkalatos tulajdonságok nem mindig egyszerűek ezért hasznosak az olyan tesztek, melyekkel meglétük igazolható. A napokban megjelent cikkünkben (Csóka, Herings, Kóczy, 2011) pontosan egy ilyen tesztet javasolunk az egzaktság vizsgálatára.
Átváltható hasznosságú játékokat vizsgálunk. Az ilyen játékok talán legnagyobb kérdése, hogy üres-e a mag (core). Ha a mag nem üres, akkor léteznek olyan elosztások, vagy kifizetés-konfigurációk, hogy minden játékoscsoport, azaz koalíció elégedett. (Minden koalíció képvisel egy értéket - ez a karakterisztikus értéke. A koalíció elégedett, ha legalább ennyit kap. Ha csak kevesebbet, akkor inkább kiszáll.) Shapley (1967) és Bondareva (1963) igazolták, hogy a mag pontosan akkor nem üres, ha a játék kiegyensúlyozott (balanced).
Kiegyensúlyozottság: Koalíciónak nevezzük a játékosok nemüres részhalmazait. Tegyük fel, hogy egy játékos nem csak egy koalíciónak lehet tagja, hanem idejét megoszthatja különböző koalíciók között. Fontos, hogy egy-egy koalíció tagjai mind ugyanannyi időt töltenek a koalícióban, ez az idő a koalícióhoz tartozó súly (balancing weight). Kiegyensúlyozott halmazoknak a koalíciók és hozzájuk tartozó súlyok azon gyűjteményét nevezzük, melyre teljesül, hogy minden játékos összességében ugyanannyi (normalizálva: 1) időt tölt a koalíciókban. A játék kiegyensúlyozott, ha az ilyen gyűjtemények (súlyozott) összértéke nem haladja meg a nagykoalíció értékét. Ez az úgynevezett kiegyensúlyozottsági feltétel. A Shapley-Bondareve tétel kimondja, hogy a mag akkor és csak akkor üres, ha a játék kiegyensúlyozott.
Nézzük ugyanezt magyarul: Van egy cég, alkalmazottakkal, ami valami profitot elő tud állítani. Nyilván baj van, ha a dolgozók egy csoportja saját céget alapítva többet kereshetne. Előbb-utóbb ez a cég meg fog alakulni. Ha mégis kialakul egy ilyen helyzet, a cég megteheti, hogy a fizetések egy részét átcsoportosítja: ezzel ez a csoport rendben lesz, de alakulhatnak más elégedetlen csoportok. Fontos, hogy az esetlegesen kiváló Kft. fizetési viszonyai nem ismertek, a csoportokat összességében kell boldoggá tenni. Nyilván arra kell törekedni, hogy a több kritikus csoportban is aktív tagok fizetését emeljük, stb stb. az egész pillanatok alatt olyan lesz, mint mikor egy úszógumiból próbáljuk kinyomni a levegőt (=elégedetlenség). Mégis, ha kiegyensúlyozott a játék, egy idő után sikerrel járhatunk (bár erre konkrét algoritmus nem ismert).
Rátérve a cikkre: Az egzaktság is egy hasonló tulajdonság. Egy játék egzakt, ha minden egyes koalícióhoz tartozik olyan elosztás, amire 2 dolog teljesül:
- Az elosztás eleme a magnak
- A koalíció pontosan karakterisztikus értékét kapja (=ha a tagok kifizetését összegezzük)
Ez egyrészt lehetőséget ad a főnöknek, hogy a javasolt kifizetés mellett egy vagy több koalíció éppen annyit kapjon, hogy ne lépjen ki, de felfoghatjuk úgy is, hogy a koalíciók olyan erősek, hogy mind beleszólnak a mag meghatározásába. Bár az egzaktság messze nem olyan gyakori, mint a kiegyensúlyozottság, de így is ismerünk olyan közgazdasági problémákat, ahol mindig egzakt játékot kapunk. Hogy meghatározhassuk, hogy egy adott játék eleme ennek a játékosztálynak, a kiegyensúlyozottság két (hasonló) módosított változatát vezettük be. Az egyik módosított változat a "túlegyensúlyozottség" (overbalancedness), ahol megengedjük, hogy az egyik koalícióban negatív időt töltsenek a játékosok.
El kell ismerni, hogy a túlegyensúlyozottság vizsgálata nem egyszerű - ebben az értelemben még messze vagyunk a lakmuszpapírtól. Az eredmény jelentősége abban rejlik, hogy egy az egzaktságtól teljesen különböző megjelenésű, de azzal ekvivalens tulajdonságot kaptunk. Ez ráadásul rendkívül hasonló a kiegyensúlyozottsághoz, így várhatóan ugyanazok az eredmények segítenek majd a két tulajdonság vizsgálatának könnyítésében.
Hivatkozások
Bondareva, O.N., 1963. Some Applications of Linear Programming Methods to the Theory of Cooperative Games. Problemy Kybernetiki, 10, p.119-139.
Csóka, P., Herings, P.J.J., Kóczy, L.Á. 2011. Balancedness conditions for exact games. Mathematical Methods of Operations Research, 74, p. 41-52.
Shapley, L.S., 1967. On Balanced Sets and Cores. Naval Research Logistics Quarterly, 14(4), p.453-460.
