Hosszabb szünet után egy ropogósan friss, elméleti cikk okán élesztem újra a blogot. A cikk két kevésbé ismert fogalom kapcsolatát tárja fel és a vezető játékelméleti lapban jelent meg. Miért ilyen fontosak az ilyen cikkek? 

Ha kezünkbe veszünk egy játékelmélet tankönyvet, egy viszonylag rövid bevezető után megismerkedünk a Nash egyensúllyal, majd annak jobb változatával (részjáték-tökéletes Nash-egyensúly), majd jobb és jobb változataival. Az egésznek van egy gyönyörű íve. Ha egy kicsit továbblapozunk a kooperatív játékelmélettel foglalkozó részhez, akkor egy furcsa telefonkönyv/enciklopédia következik, csak mindenféle rendszer nélkül: a szerző a saját ízlése és preferenciái szerint mutatja be a lehetőségek tárházát. A bemutatott/bemutatható fogalmak sokaságát remekül kifejezi a plethora angol szó (bőség, túltengés), amivel a nemzetközi irodalomban gyakorta jellemzik. Itt kerül megemlítésre a mag, a Shapley-érték, a stabil halmaz, a nukleólusz, az alkuhalmaz (abból is többféle), hogy a Banzhaf értékről (és vagy 20 másik hatalmi mértékről), a Weber halmazról, a prenukleóluszról, a belső magról, stb stb ne is beszéljünk. Ezeknek a megoldásoknak általános jellemzője, hogy egymással nehezen összehasonlíthatók és kell egy kis játékelméleti rutin, hogy ráérezzünk, melyik a megfelelő eszköz egy konkrét feladat megoldására. Meggyőződésem, hogy ebben a helyzetben újabb megoldásokat kitalálni csak indokolt esetben szabad és legalább ilyen fontos a különböző fogalmak közötti kapcsolatok feltárása. 

Ilyen indokolt eset lehet, ha alapvetően a magot szeretnénk használni, de megoldást keresünk az ürességére. A mag eleve egy problémás megoldás abból a szempontból, hogy -általában- nem tesz konkrét javaslatot arra, hogy hogyan osszuk szét a koalíciós kifizetést, hanem a végtelen sok lehetőség közül kiemel végtelen sok lehetőséget, mint megoldást. A gyakorlatban ezt inkább kritikusan alkalmazhatjuk: ha egy javasolt elosztás nem magbéli, azt elutasítjuk. Amikor a mag üres, akkor ez a módszer nem alkalmazható, egyszerűen nincsenek jó megoldások.

A mag másik érdekessége, hogy egy adott elosztást véleményez, de arra nem ad iránymutatást, hogy egy ilyen elosztás hogyan érhető el - anélkül, hogy bárkinek önkéntes lemondást kellene tennie. Korábbi cikkeimben (Kóczy-Lauwers, 2004, Kóczy, 2006) bemutattam, hogy felírható olyan dinamikus játék, ami magbéli elosztáshoz vezet. Logikus kérdés, hogy mi történik az ilyen dinamikus játékokban ha a mag üres. A legkisebb domináns halmaz (Kóczy-Lauwers, 2007) azokat az elosztásokat tartalmazza, ahol ez a kooperatív alkufolyamat véget érhet. 

Demuynck és társszerzői (2019) is kooperatív fogalmakkal foglalkoztak, de ők a stabil halmaz dinamikus kiterjesztését vizsgálták viszonylag általános környezetben és bebizonyították, hogy koalíciós játékokban az általuk definiált miópiás stabil halmaz (myopic stable set) határértéke a mag. Határértékben odajutni, vagy odajutni az nem ugyanaz (mindenki ismeri a viccet a két megátkozott lovagról, akik naponta megfelezhetik a távolságot hercegnőtől, de sosem érhetik el..), mégis túlságosan hasonló a két fogalom. 

A napokban megjelent cikkünk feltárja ezt a kapcsolatot. Mindenek előtt pontosítja a legkisebb domináns halmaz definícióját, eltávolítva egy olyan, ártatlannak tűnő lehetőséget (kifizetés-egyenlőség), ami egyrészt felesleges technikai könnyítés a bizonyításokban, elrontja a fogalom tulajdonságait és a hivatkozó szerzők egytől-egyig figyelmen kívül hagyták. A következő lépés kulcsa a dominancia definíciója. Alapkérdés, hogy az ember belemegy-e olyan változásokba, amik nem érintik előnyösen. Természetesen azt nem várja senki, hogy elfogadjuk a rosszat, de kérdés, hogy támogatunk-e olyan változást, ami a kiindulási helyzettel egyforma jó. Ízlés kérdése, de a legkisebb domináns halmaz definíciója megenged ilyen gyenge dominanciát is. Ha ugyanezt megengedjük a miópiás stabil halmaznál is, szükségtelenné válik a határértékek vizsgálata és pikk-pakk (pár oldal bizonyítás után) belátható a két fogalom egybeesése. 

A cikk szabadon hozzáférhető az Elsevier weboldalán. 

Hivatkozások

1. Demuynck, T., Herings, P. J.-J., Saulle, R. D., & Seel, C. (2019). The myopic stable set for social environments. Econometrica, 87(1), 111–138. https://doi.org/10.3982/ECTA14954
2. Herings, P. J.-J., & Kóczy, L. Á. (2021). The Equivalence of the Minimal Dominant Set and the Myopic Stable Set for Coalition Function Form Games. Games and Economic Behavior, 127(1), 67–79. https://doi.org/10.1016/j.geb.2021.02.003
3. Kóczy, L. Á., & Lauwers, L. (2004). The coalition structure core is accessible. Games and Economic Behavior, 48(1), 86–93. https://doi.org/10.1016/j.geb.2003.06.006
4. Kóczy, L. Á. (2006). The core can be accessed with a bounded number of blocks. Journal of Mathematical Economics, 43(1), 56–64. https://doi.org/10.1016/j.jmateco.2006.09.002
5. Kóczy, L. Á., & Lauwers, L. (2007). The minimal dominant set is a non-empty core-extension. Games and Economic Behavior, 61(2), 277–298. https://doi.org/10.1016/j.geb.2006.11.004